Luyện theo chủ đề · Toán lớp 12

Ứng dụng hình học của tích phân

Chương “Nguyên hàm và tích phân”. Các câu thuộc chủ đề này, gom từ mọi đề trên trang, kèm đáp án và lời giải.

3
câu
2
đề thi
  1. Đề chính thức Toán 2026 (Bộ GD&ĐT) – mã đề 0101 · Câu 3 Phần III
    Câu 3.

    Để chế tác một hạt cườm, người ta lấy một khối vật thể có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục OxOx và nửa trên của elip x21,52+y212=1\dfrac{x^2}{1{,}5^2}+\dfrac{y^2}{1^2}=1 (một đơn vị dài trên mỗi trục tọa độ tương ứng với một xăng-ti-mét trong thực tế) quanh trục OxOx; sau đó khoan dọc theo trục xoay (xem hình dưới). Lỗ khoan có dạng hình trụ với bán kính 0,20{,}2 cm và có trục nằm trên trục xoay. Phần còn lại sau khi khoan là hạt cườm, có dạng một khối tròn xoay.
    Thể tích của hạt cườm đó bằng bao nhiêu xăng-ti-mét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

    Ba hình: khối tròn xoay từ elip x²/1,5² + y²/1² = 1 quay quanh trục Ox, mũi khoan khoan lỗ bán kính 0,2 dọc trục xoay; hạt cườm sau khi khoan; nửa trên elip phía trên đường thẳng y = 0,2

    Lưu ý: Các kích thước trong hình minh họa có thể không đúng tỉ lệ thực tế.

    Đáp án: 5,91

    Lời giải

    Nửa trên của elip là y=1−x22,25y=\sqrt{1-\dfrac{x^2}{2{,}25}}. Lỗ khoan có bán kính 0,20{,}2, nên hạt cườm là khối tròn xoay tạo bởi phần hình phẳng nằm giữa đường thẳng y=0,2y=0{,}2 và nửa elip, quay quanh OxOx.

    Giao điểm: 1−x22,25=0,04⇔x2=2,16⇔x=±x01-\dfrac{x^2}{2{,}25}=0{,}04\Leftrightarrow x^2=2{,}16\Leftrightarrow x=\pm x_0 với x0=2,16x_0=\sqrt{2{,}16}.

    V=π∫−x0x0[(1−x22,25)−0,22]dx=π∫−x0x0(0,96−x22,25)dx=2πx0(0,96−x026,75)=2πx0⋅0,64=1,28π2,16≈5,91V=\pi\displaystyle\int_{-x_0}^{x_0}\left[\left(1-\dfrac{x^2}{2{,}25}\right)-0{,}2^2\right]dx=\pi\int_{-x_0}^{x_0}\left(0{,}96-\dfrac{x^2}{2{,}25}\right)dx=2\pi x_0\left(0{,}96-\dfrac{x_0^2}{6{,}75}\right)=2\pi x_0\cdot0{,}64=1{,}28\pi\sqrt{2{,}16}\approx5{,}91 (cm³).

    Đáp án: 5,915{,}91.

  2. Đề tham khảo Toán 2025 (Bộ GD&ĐT) · Câu 2 Phần I
    Câu 2.

    Cho hàm số y=f(x)y=f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn [a;b][a;b]. Xét hình phẳng (H)(H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x)y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=ax=a, x=bx=b. Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H)(H) quanh trục OxOx có thể tích là:

    • A.

      V=π∫ab∣f(x)∣ dxV=\pi\displaystyle\int_a^b|f(x)|\,dx.

    • B.

      V=π2∫abf(x) dxV=\pi^2\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx.

    • C.

      V=π2∫ab[f(x)]2 dxV=\pi^2\displaystyle\int_a^b[f(x)]^2\,dx.

    • D.

      V=π∫ab[f(x)]2 dxV=\pi\displaystyle\int_a^b[f(x)]^2\,dx.

      Đáp án
    Lời giải

    Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y=f(x)y=f(x), trục hoành, x=ax=a, x=bx=b quanh OxOx là V=π∫ab[f(x)]2 dxV=\pi\displaystyle\int_a^b[f(x)]^2\,dx. Chọn D.

  3. Đề tham khảo Toán 2025 (Bộ GD&ĐT) · Câu 4 Phần III
    Câu 4.

    Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m60\,m và 80 m80\,m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20 m20\,m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

    Khu đất hình chữ nhật, phần sân chơi tô đậm nằm giữa hai cung parabol ở cạnh trên và cạnh dưới, đỉnh mỗi parabol cách cạnh 20 m

    Đáp án: 3200

    Lời giải

    Mỗi phần trồng hoa giới hạn bởi một cạnh dài 60 m60\,m và một cung parabol đi qua hai đầu cạnh đó, có đỉnh cách trung điểm cạnh 20 m20\,m.

    Diện tích một phần (hình viên phân parabol) là 23⋅60⋅20=800 m2\dfrac23\cdot60\cdot20=800\,m^2. Hai phần là 1 600 m21\,600\,m^2.

    Diện tích sân chơi: 60⋅80−1 600=3 200 m260\cdot80-1\,600=3\,200\,m^2.