Luyện theo chủ đề · Toán lớp 12

Tích phân

Chương “Nguyên hàm và tích phân”. Các câu thuộc chủ đề này, gom từ mọi đề trên trang, kèm đáp án và lời giải.

2
câu: 2
đề thi

Hiện đáp án và lời giải

Đề chính thức Toán 2026 (Bộ GD&ĐT) – mã đề 0101 · Câu 3 Phần II
Câu 3.
Một hệ thống pin năng lượng mặt trời gồm các tấm pin được kết nối với một bộ lưu trữ điện. Trong thời gian mặt trời chiếu sáng của một ngày, năng lượng điện thu được từ các tấm pin được lưu trong bộ lưu trữ điện. Gọi $F(t)$ là năng lượng điện (kWh) lưu trữ được kể từ thời điểm hệ thống bắt đầu hoạt động đến thời điểm $t$ , trong đó $t$ là thời gian tính theo giờ $(0\le t\le12)$ và thời điểm hệ thống bắt đầu hoạt động ứng với $t=0$ . Biết rằng $F(0)=0$ .
Tốc độ lưu trữ năng lượng điện (kW) của hệ thống này là hàm số $f(t)=F'(t)$ với $0\le t\le12$ . Số liệu ghi nhận được ở một ngày cụ thể trong năm cho thấy $f(t)=-0{,}3t^2+3{,}6t$ với $0\le t\le12$ .
- a)
  $F(t)=-0{,}1t^3+1{,}8t^2$ với $0\le t\le12$ .
  Đúng
- b)
  Năng lượng điện (kWh) lưu trữ được kể từ thời điểm $t=a$ đến thời điểm $t=b$ $(0\le a<b\le12)$ là $\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt$ .
  Đúng
- c)
  Năng lượng điện lưu trữ được kể từ thời điểm $t=1$ đến thời điểm $t=4$ nhỏ hơn $20{,}6$ kWh.
  Sai
- d)
  Năng lượng điện lưu trữ được kể từ thời điểm $t=1$ đến thời điểm $t=7$ gấp hai lần năng lượng điện lưu trữ được kể từ thời điểm $t=1$ đến thời điểm $t=4$ .
  Sai
Lời giải
a) Đúng: $F(t)=\displaystyle\int\left(-0{,}3t^2+3{,}6t\right)dt=-0{,}1t^3+1{,}8t^2+C$ , và $F(0)=0$ nên $C=0$ .
b) Đúng: năng lượng lưu trữ được từ $t=a$ đến $t=b$ là $F(b)-F(a)=\displaystyle\int_a^bf(t)\,dt$ .
c) Sai: $F(1)=-0{,}1+1{,}8=1{,}7$ và $F(4)=-6{,}4+28{,}8=22{,}4$ , nên năng lượng từ $t=1$ đến $t=4$ là $22{,}4-1{,}7=20{,}7$ kWh, không nhỏ hơn $20{,}6$ kWh.
d) Sai: $F(7)=-34{,}3+88{,}2=53{,}9$ , nên năng lượng từ $t=1$ đến $t=7$ là $53{,}9-1{,}7=52{,}2$ kWh, khác $2\cdot20{,}7=41{,}4$ kWh.
Đề tham khảo Toán 2025 (Bộ GD&ĐT) · Câu 2 Phần II
Câu 2.
Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn $200\,m$ , tốc độ của ô tô là $36\,km/h$ . Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ $v(t)=at+b$ $(a,b\in\mathbb R,\ a>0)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
- a)
  Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là $180\,m$ .
  Đúng
- b)
  Giá trị của $b$ là 10.
  Đúng
- c)
  Quãng đường $S(t)$ (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian $t$ giây $(0\le t\le24)$ kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức $S(t)=\displaystyle\int_0^{24}v(t)\,dt$ .
  Sai
- d)
  Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là $100\,km/h$ .
  Sai
Lời giải
Đổi $36\,km/h=10\,m/s$ .
a) Đúng: trong 2 giây trước khi tăng tốc, ô tô đi được $2\cdot10=20\,m$ , nên từ lúc tăng tốc đến điểm nhập làn còn $200-20=180\,m$ .
b) Đúng: tại $t=0$ tốc độ là $10\,m/s$ nên $v(0)=b=10$ .
c) Sai: quãng đường đi được sau $t$ giây là $S(t)=\displaystyle\int_0^t v(x)\,dx$ , không phải tích phân từ 0 đến 24.
d) Sai: $\displaystyle\int_0^{12}(at+10)\,dt=72a+120=180\Rightarrow a=\dfrac56$ . Khi đó $v(24)=\dfrac56\cdot24+10=30\,m/s=108\,km/h>100\,km/h$ .