Để chế tác một hạt cườm, người ta lấy một…

Câu 3.

Để chế tác một hạt cườm, người ta lấy một khối vật thể có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục $Ox$ và nửa trên của elip $\dfrac{x^2}{1{,}5^2}+\dfrac{y^2}{1^2}=1$ (một đơn vị dài trên mỗi trục tọa độ tương ứng với một xăng-ti-mét trong thực tế) quanh trục $Ox$ ; sau đó khoan dọc theo trục xoay (xem hình dưới). Lỗ khoan có dạng hình trụ với bán kính $0{,}2$ cm và có trục nằm trên trục xoay. Phần còn lại sau khi khoan là hạt cườm, có dạng một khối tròn xoay.
Thể tích của hạt cườm đó bằng bao nhiêu xăng-ti-mét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Ba hình: khối tròn xoay từ elip x²/1,5² + y²/1² = 1 quay quanh trục Ox, mũi khoan khoan lỗ bán kính 0,2 dọc trục xoay; hạt cườm sau khi khoan; nửa trên elip phía trên đường thẳng y = 0,2

Lưu ý: Các kích thước trong hình minh họa có thể không đúng tỉ lệ thực tế.

Đáp án: 5,91

Lời giải

Nửa trên của elip là $y=\sqrt{1-\dfrac{x^2}{2{,}25}}$ . Lỗ khoan có bán kính $0{,}2$ , nên hạt cườm là khối tròn xoay tạo bởi phần hình phẳng nằm giữa đường thẳng $y=0{,}2$ và nửa elip, quay quanh $Ox$ .

Giao điểm: $1-\dfrac{x^2}{2{,}25}=0{,}04\Leftrightarrow x^2=2{,}16\Leftrightarrow x=\pm x_0$ với $x_0=\sqrt{2{,}16}$ .

$V=\pi\displaystyle\int_{-x_0}^{x_0}\left[\left(1-\dfrac{x^2}{2{,}25}\right)-0{,}2^2\right]dx=\pi\int_{-x_0}^{x_0}\left(0{,}96-\dfrac{x^2}{2{,}25}\right)dx=2\pi x_0\left(0{,}96-\dfrac{x_0^2}{6{,}75}\right)=2\pi x_0\cdot0{,}64=1{,}28\pi\sqrt{2{,}16}\approx5{,}91$ (cm³).

Đáp án: $5{,}91$ .

Câu 3 Phần III · Đề chính thức Toán 2026 (Bộ GD&ĐT) – mã đề 0101