Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Lợi nhuận $L(x)=R(x)-C(x)=-0{,}001x^3+30x-10$ với $1\le x\le200$.

$L'(x)=-0{,}003x^2+30=0\Leftrightarrow x=100$ (vì $x>0$). $L'(x)>0$ trên $[1;100)$ và $L'(x)<0$ trên $(100;200]$, nên $L$ lớn nhất tại $x=100$: $L(100)=-1000+3000-10=1990$ (triệu đồng).

Đáp án: $1990$.

Lợi nhuận $P(x)=F(x)-x\,G(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000-(x^2+1000x+250000)=x^3-2000x^2+1000000x=x(x-1000)^2$.

$P'(x)=3x^2-4000x+1000000=0\Leftrightarrow x=1000$ hoặc $x=\dfrac{1000}{3}\approx333{,}3$.

Trên $[1;500]$, $P$ tăng trên $\left[1;\dfrac{1000}{3}\right]$ và giảm trên $\left[\dfrac{1000}{3};500\right]$. Vì $x$ nguyên, so sánh $P(333)=148\,148\,037$ và $P(334)=148\,147\,704$.

Doanh nghiệp cần sản xuất $333$ sản phẩm.