Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $(1\le x\le500)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x)=x+1000+\dfrac{250000}{x}$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Lợi nhuận $P(x)=F(x)-x\,G(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000-(x^2+1000x+250000)=x^3-2000x^2+1000000x=x(x-1000)^2$.

$P'(x)=3x^2-4000x+1000000=0\Leftrightarrow x=1000$ hoặc $x=\dfrac{1000}{3}\approx333{,}3$.

Trên $[1;500]$, $P$ tăng trên $\left[1;\dfrac{1000}{3}\right]$ và giảm trên $\left[\dfrac{1000}{3};500\right]$. Vì $x$ nguyên, so sánh $P(333)=148\,148\,037$ và $P(334)=148\,147\,704$.

Doanh nghiệp cần sản xuất $333$ sản phẩm.