Luyện theo chủ đề · Toán lớp 12

Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Chương “Xác suất có điều kiện”. Các câu thuộc chủ đề này, gom từ mọi đề trên trang, kèm đáp án và lời giải.

2
câu
1
đề thi
  1. Đề tham khảo Toán 2025 (Bộ GD&ĐT) · Câu 3 Phần II
    Câu 3.

    Trước khi đưa một loại sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó. Kết quả thống kê như sau: có 105 người trả lời “sẽ mua”; có 95 người trả lời “không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời “sẽ mua” và “không mua” lần lượt là 70% và 30%.
    Gọi AA là biến cố “Người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm”.
    Gọi BB là biến cố “Người được phỏng vấn trả lời sẽ mua sản phẩm”.

    • a)

      Xác suất P(B)=2140P(B)=\dfrac{21}{40} và P(B‾)=1940P(\overline B)=\dfrac{19}{40}.

      Đúng
    • b)

      Xác suất có điều kiện P(A∣B)=0,3P(A\mid B)=0{,}3.

      Sai
    • c)

      Xác suất P(A)=0,51P(A)=0{,}51.

      Đúng
    • d)

      Trong số những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm có 70% người đã trả lời “sẽ mua” khi được phỏng vấn (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị).

      Sai
    Lời giải

    a) Đúng: P(B)=105200=2140P(B)=\dfrac{105}{200}=\dfrac{21}{40}, P(B‾)=95200=1940P(\overline B)=\dfrac{95}{200}=\dfrac{19}{40}.

    b) Sai: theo đề, P(A∣B)=0,7P(A\mid B)=0{,}7 (và P(A∣B‾)=0,3P(A\mid\overline B)=0{,}3).

    c) Đúng: P(A)=P(B)P(A∣B)+P(B‾)P(A∣B‾)=2140⋅0,7+1940⋅0,3=0,3675+0,1425=0,51P(A)=P(B)P(A\mid B)+P(\overline B)P(A\mid\overline B)=\dfrac{21}{40}\cdot0{,}7+\dfrac{19}{40}\cdot0{,}3=0{,}3675+0{,}1425=0{,}51.

    d) Sai: P(B∣A)=P(B)P(A∣B)P(A)=0,36750,51≈0,72P(B\mid A)=\dfrac{P(B)P(A\mid B)}{P(A)}=\dfrac{0{,}3675}{0{,}51}\approx0{,}72, tức khoảng 72%72\%, không phải 70%70\%.

  2. Đề tham khảo Toán 2025 (Bộ GD&ĐT) · Câu 6 Phần III
    Câu 6.

    Có hai chiếc hộp, hộp I có 6 quả bóng màu đỏ và 4 quả bóng màu vàng, hộp II có 7 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu vàng, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I bỏ vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Tính xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án: 0,08

    Lời giải

    Gọi EE là biến cố "quả lấy từ hộp II là quả được chuyển sang", RR là biến cố "quả lấy từ hộp II màu đỏ". Sau khi chuyển, hộp II có 11 quả.

    Quả chuyển sang màu đỏ (xác suất 0,60{,}6): hộp II có 8 đỏ; màu vàng (xác suất 0,40{,}4): hộp II có 7 đỏ.
    P(R)=0,6⋅811+0,4⋅711=7,611P(R)=0{,}6\cdot\dfrac{8}{11}+0{,}4\cdot\dfrac{7}{11}=\dfrac{7{,}6}{11}.

    E∩RE\cap R: quả chuyển sang màu đỏ và lấy đúng quả đó, P(E∩R)=0,6⋅111=0,611P(E\cap R)=0{,}6\cdot\dfrac{1}{11}=\dfrac{0{,}6}{11}.

    P(E∣R)=0,67,6=338≈0,08P(E\mid R)=\dfrac{0{,}6}{7{,}6}=\dfrac{3}{38}\approx0{,}08.