Các thiên thạch có đường kính lớn hơn $140\,m$ và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn $7\,500\,000\,km$ được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá $6\,600\,km$ so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính $6\,400\,km$ . Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian có gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $1\,000\,km$ . Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm $M(6;20;0)$ đến điểm $N(-6;-12;16)$ .

a)
Đường thẳng $MN$ có phương trình tham số là $\begin{cases}x=6+3t\\y=20+8t\\z=-4t\end{cases}$ , $(t\in\mathbb R)$ .
Đúng
b)
Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm $A(-3;-4;12)$ .
Sai
c)
Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là $18\,900\,km$ (kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét).
Đúng
d)
Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì thời gian nó di chuyển từ $M$ đến $N$ là 6 phút.
Đúng

Lời giải

a) Đúng: $\overrightarrow{MN}=(-12;-32;16)=-4(3;8;-4)$ , nên $MN$ qua $M(6;20;0)$ có vectơ chỉ phương $(3;8;-4)$ : $x=6+3t$ , $y=20+8t$ , $z=-4t$ .

Phạm vi theo dõi là khối cầu tâm $O$ bán kính $6\,400+6\,600=13\,000\,km$ , tức $13$ đơn vị. Điểm của $MN$ nằm trên mặt cầu khi $(6+3t)^2+(20+8t)^2+16t^2=169\Leftrightarrow89t^2+356t+267=0\Leftrightarrow t^2+4t+3=0\Leftrightarrow t=-1$ hoặc $t=-3$ . Thiên thạch đi từ $M$ ( $t=0$ ) đến $N$ ( $t=-4$ ).

b) Sai: điểm đầu tiên ứng với $t=-1$ là $(3;12;4)$ ; điểm $A(-3;-4;12)$ ứng với $t=-3$ là điểm cuối cùng.

c) Đúng: khoảng cách giữa hai điểm là $2\sqrt{3^2+8^2+4^2}=2\sqrt{89}\approx18{,}868$ đơn vị, tức khoảng $18\,900\,km$ .

d) Đúng: $MN=4\sqrt{89}$ gấp đôi đoạn $2\sqrt{89}$ nằm trong phạm vi theo dõi. Tốc độ không đổi nên thời gian từ $M$ đến $N$ là $2\cdot3=6$ phút.