Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình… – Đáp án Câu 4 Phần III, Toán 2025

Câu 4 Phần III · Đề chính thức Toán 2025 (Bộ GD&ĐT) – mã đề 0101

Toán 2025 · Có lời giải chi tiết

Câu 4.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi với $\widehat{ABC}=60^\circ$ và $AB=2$ . Biết rằng hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trọng tâm $H$ của tam giác $ABC$ và $SH=\sqrt{3}$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SD$ bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Đáp án: 1,04

Lời giải

Tam giác $ABC$ đều cạnh 2. Gọi $O=AC\cap BD$ . Vì $AC\perp BD$ và $AC\perp SH$ nên $AC\perp(SBD)$ tại $O$ , do đó $d(AC,SD)=d(O,SD)$ .

Trong mặt phẳng $(SBD)$ : $OH=\dfrac{\sqrt{3}}{3},\ OD=\sqrt{3},\ HD=\dfrac{4\sqrt{3}}{3},\ SD=\sqrt{\dfrac{16}{3}+3}=\dfrac{5}{\sqrt{3}}$ .

$d(O,SD)=\dfrac{2S_{SOD}}{SD}=\dfrac{SH\cdot OD}{SD}=\dfrac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{5/\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{5}\approx 1{,}04$ . Đáp số: 1,04.