Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong… – Đáp án Câu 3 Phần II, Toán 2025

Câu 3.

Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian cho hệ tọa độ $Oxyz$ có $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục $Ox,Oy,Oz$ và độ dài của mỗi vectơ đơn vị đó bằng 1 mét. Cho hai điểm $A$ và $B$ , trong đó điểm $A$ có tọa độ là $(5;5;0)$ . Một vật (coi như là một hạt) chuyển động thẳng với tốc độ phụ thuộc thời gian $t$ (giây) theo công thức $v(t)=\beta t+300$ (m/giây), trong đó $\beta$ là hằng số dương và $0\le t\le 6$ . Ở thời điểm ban đầu $(t=0)$ , vật đi qua $A$ với tốc độ 300 m/giây và hướng tới $B$ . Sau 2 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường 604 m. Gọi $\vec{u}=(a;b;c)$ là vectơ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$ . Biết rằng $|\vec{u}|=1$ và góc giữa vectơ $\vec{u}$ lần lượt với các vectơ $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ có số đo tương ứng bằng $60^\circ,60^\circ,45^\circ$ .

a)
$a=\cos 60^\circ$ .
Đúng
b)
Phương trình đường thẳng $AB$ là $\dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y-5}{1}=\dfrac{z}{2}$ .
Sai
c)
$\beta=2$ .
Đúng
d)
Giả sử sau 5 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đến điểm $B(x_B;y_B;z_B)$ . Khi đó $x_B>768$ .
Sai

Lời giải

a) Đúng: $|\vec{u}|=1$ nên $a=\vec{u}\cdot\vec{i}=\cos 60^\circ$ .

b) Sai: $\vec{u}=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ cùng phương với $(1;1;\sqrt{2})$ , không cùng phương với $(1;1;2)$ .

c) Đúng: $s(2)=\displaystyle\int_0^2(\beta t+300)\,\mathrm{d}t=2\beta+600=604$ , suy ra $\beta=2$ .

d) Sai: $s(5)=\displaystyle\int_0^5(2t+300)\,\mathrm{d}t=1525$ m, $\overrightarrow{AB}=1525\,\vec{u}$ nên $x_B=5+1525\cdot\dfrac{1}{2}=767{,}5<768$ .

Câu 3 Phần II · Đề chính thức Toán 2025 (Bộ GD&ĐT) – mã đề 0101