Luyện theo chủ đề · Toán lớp 12

Hệ trục tọa độ trong không gian

Chương “Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian”. Các câu thuộc chủ đề này, gom từ mọi đề trên trang, kèm đáp án và lời giải.

1
câu
1
đề thi
  1. Đề tham khảo Toán 2025 (Bộ GD&ĐT) · Câu 3 Phần III
    Câu 3.

    Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm MM trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm A(3;1;0)A(3;1;0), B(3;6;6)B(3;6;6), C(4;6;2)C(4;6;2), D(6;2;14)D(6;2;14); vị trí M(a;b;c)M(a;b;c) thỏa mãn MA=3MA=3, MB=6MB=6, MC=5MC=5, MD=13MD=13. Khoảng cách từ điểm MM đến điểm OO bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 3

    Lời giải

    Ta có MA2=9MA^2=9, MB2=36MB^2=36, MC2=25MC^2=25, MD2=169MD^2=169. Trừ từng cặp phương trình để khử bình phương:

    MB2−MA2MB^2-MA^2: 5b+6c=225b+6c=22.
    MC2−MB2MC^2-MB^2: a=4c−7a=4c-7.
    MD2−MA2MD^2-MA^2: 3a+b+14c=333a+b+14c=33.

    Thế a=4c−7a=4c-7 được b=54−26cb=54-26c, rồi 5(54−26c)+6c=22⇒c=25(54-26c)+6c=22\Rightarrow c=2, suy ra b=2b=2, a=1a=1. Kiểm tra MA2=4+1+4=9MA^2=4+1+4=9.

    Vậy M(1;2;2)M(1;2;2) và OM=1+4+4=3OM=\sqrt{1+4+4}=3.