Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Câu 4.

Một khung hình trang trí có dạng một đa giác đều 12 cạnh $A_1A_2\ldots A_{12}$ (xem hình dưới) được gắn cố định trên một trần nhà. Bạn Dũng có 12 bóng đèn gồm bốn bóng màu đỏ và tám bóng màu xanh, có công suất đôi một khác nhau. Bạn Dũng lắp ngẫu nhiên 12 bóng đèn trên vào 12 đỉnh $A_1,A_2,\ldots,A_{12}$ sao cho mỗi đỉnh có đúng một bóng đèn. Gọi $P$ là xác suất để mỗi hình vuông (có bốn đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho) đều có ít nhất một bóng đèn màu đỏ. Giá trị của $3190P$ bằng bao nhiêu?

Đa giác đều 12 cạnh với các đỉnh A1, A2, …, A12 theo chiều kim đồng hồ, A1 ở trên cùng

Đáp án: 1856

Lời giải

Các hình vuông có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác đều 12 cạnh là $A_1A_4A_7A_{10}$ , $A_2A_5A_8A_{11}$ và $A_3A_6A_9A_{12}$ ; ba hình vuông này chia 12 đỉnh thành 3 nhóm 4 đỉnh.

Vị trí của 4 bóng đỏ là một tổ hợp chập 4 của 12 đỉnh, các khả năng đồng khả năng: $n(\Omega)=C_{12}^4=495$ .

Mỗi hình vuông có ít nhất một bóng đỏ khi 4 bóng đỏ chia vào 3 hình vuông theo kiểu $2+1+1$ : chọn hình vuông có 2 bóng đỏ (3 cách), chọn 2 đỉnh của nó ( $C_4^2=6$ cách), chọn 1 đỉnh ở mỗi hình vuông còn lại ( $4\cdot4=16$ cách). Số khả năng thuận lợi là $3\cdot6\cdot16=288$ .

$P=\dfrac{288}{495}=\dfrac{32}{55}$ , nên $3190P=3190\cdot\dfrac{32}{55}=1856$ .

Đáp án: $1856$ .