Trong không gian xét hệ tọa độ Oxyz, có một… – Đáp án Câu 4 Phần II, Toán 2026

Câu 4.

Trong không gian xét hệ tọa độ $Oxyz$ , có một đơn vị dài trên các trục tương ứng với 10 mét trên thực tế. Một mục tiêu cần được bảo vệ có vị trí gốc tọa độ $O$ . Người ta thiết lập một vành đai bảo vệ quanh mục tiêu theo một đường tròn tâm $O$ có bán kính bằng 7 đơn vị (tương ứng 70 mét trên thực tế) nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$ . Một máy bay không người lái (được coi như một hạt) bay theo một đường thẳng từ vị trí $M(5;10;4)$ đến vị trí $N(14;-2;4)$ . Tại mỗi vị trí của máy bay, khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là độ dài ngắn nhất của các đoạn thẳng nối từ vị trí đó đến một điểm bất kì trên vành đai.

a)
$\overrightarrow{MN}=(9;-12;0)$ .
Đúng
b)
Phương trình tham số của đường thẳng $MN$ là $\begin{cases}x=5+3t\\y=10-4t\\z=0\end{cases}$ với $t\in\mathbb R$ .
Sai
c)
Trong quá trình bay từ $M$ đến $N$ , khoảng cách ngắn nhất từ máy bay đến vành đai bảo vệ là 50 mét.
Đúng
d)
Trong quá trình bay từ $M$ đến $N$ , khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là ngắn nhất khi máy bay ở vị trí có tọa độ là $(8;6;4)$ .
Đúng

Lời giải

a) Đúng: $\overrightarrow{MN}=(14-5;-2-10;4-4)=(9;-12;0)$ .

b) Sai: đường thẳng $MN$ có vectơ chỉ phương $\vec u=(3;-4;0)$ và đi qua $M(5;10;4)$ nên có phương trình $\begin{cases}x=5+3t\\y=10-4t\\z=4\end{cases}$ , không phải $z=0$ .

c) Đúng: máy bay luôn ở độ cao $z=4$ . Với điểm $K(x;y;4)$ , gọi $r=\sqrt{x^2+y^2}$ là khoảng cách từ hình chiếu của $K$ trên $(Oxy)$ đến $O$ . Khoảng cách ngắn nhất từ $K$ đến vành đai là $\sqrt{(r-7)^2+4^2}$ .

Trên đoạn $MN$ ( $0\le t\le3$ ): $r^2=(5+3t)^2+(10-4t)^2=25(t-1)^2+100\ge100$ , nên $r\ge10>7$ và $r$ nhỏ nhất bằng 10 khi $t=1$ . Khi đó khoảng cách ngắn nhất là $\sqrt{(10-7)^2+16}=5$ đơn vị, tức 50 mét.

d) Đúng: khoảng cách ngắn nhất đạt được khi $t=1$ , tức máy bay ở vị trí $(8;6;4)$ .

Câu 4 Phần II · Đề chính thức Toán 2026 (Bộ GD&ĐT) – mã đề 0101