Quy tắc đếm – Bài tập Toán lớp 10 có lời giải

Câu 2.

Trong một trò chơi bạn Bình cần vượt qua một thử thách. Theo yêu cầu của thử thách, Bình cần điền tất cả 15 số thuộc tập hợp $\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;10;11;12;15;16;20\}$ vào 15 ô vuông trong hình dưới thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:
– Mỗi ô điền đúng một số và mỗi số chỉ được sử dụng một lần;
– Hiệu hai số ở hai ô bất kì khác nhau trên cùng một hàng không chia hết cho 5;
– Hiệu hai số ở hai ô bất kì khác nhau trên cùng một cột không chia hết cho 5.
Hai cách điền gọi là giống nhau nếu số điền ở mỗi ô tương ứng trong 15 ô là giống nhau (không tính đến thứ tự điền các số vào 15 ô vuông). Gọi $H$ là số cách điền khác nhau để bạn Bình vượt qua được thử thách. Giá trị của $\dfrac H{30}$ bằng bao nhiêu?

Lưới 15 ô vuông xếp hình bậc thang: hàng 1 có 5 ô (cột 1 đến 5), hàng 2 có 4 ô, hàng 3 có 3 ô, hàng 4 có 2 ô, hàng 5 có 1 ô, các hàng thẳng cột 1

Đáp án: 1152

Lời giải

Hai số có hiệu chia hết cho 5 khi và chỉ khi chúng có cùng số dư khi chia cho 5. Chia 15 số theo số dư: dư 0 có 5 số $\{0;5;10;15;20\}$ , dư 1 có 4 số $\{1;6;11;16\}$ , dư 2 có 3 số $\{2;7;12\}$ , dư 3 có 2 số $\{3;8\}$ , dư 4 có 1 số $\{4\}$ . Điều kiện của thử thách là: trên mỗi hàng và mỗi cột, các số có số dư đôi một khác nhau.

Ô ở hàng $i$ , cột $j$ tồn tại khi $i+j\le6$ . Năm số dư 0 phải nằm ở 5 hàng khác nhau và 5 cột khác nhau. Hàng 5 chỉ có ô ở cột 1; hàng 4 còn lại cột 2; hàng 3 còn lại cột 3;… nên 5 số dư 0 bắt buộc nằm trên đường chéo $i+j=6$ . Lập luận tương tự với các ô còn lại, 4 số dư 1 nằm trên đường chéo $i+j=5$ , 3 số dư 2 trên $i+j=4$ , 2 số dư 3 trên $i+j=3$ , số 4 ở ô $i+j=2$ . Cách phân bố số dư là duy nhất và thỏa mãn điều kiện.

Trong mỗi đường chéo, các số cùng số dư được xếp tùy ý, nên $H=5!\cdot4!\cdot3!\cdot2!\cdot1!=34560$ và $\dfrac H{30}=1152$ .

Đáp án: $1152$ .